miércoles, 1 de mayo de 2013

Funciones: Función inversa, función escalonada, función valor absoluto, función identidad, función contante

 FUNCION INVERSA


Si una función f consiste en elevar al cuadrado y otra función g consiste en extraer la raíz cuadrada, cada una neutraliza lo que hace la otra. Las funciones f y g son una función inversa de la otra.
La función inversa, llamada también  recíproca, está representada como una función f y su inversa f-1. Como f aplica a en tres, la inversa f-1 lleva tres de vuelta en a.

Cómo realizar le gráfico de una funcion inversa

Una gráfica es inversa de otra cuando ambas son simétricas respecto de la bisectriz del 1.er y 3.ercuadrantes. La ecuación de la bisectriz del primer y tercer cuadrantes es y = x. La ecuación de la bisectriz del segundo y cuarto cuadrantes es y = -x.
En f(x) = xno tiene en cuenta qué podría elegir de otra forma. Para que sea inyectiva se puede optar entre los conjuntos o , como nuevo dominio. No se puede  confundir entre resolver una ecuación x2 = 9, que tiene dos soluciones , con hallar , que tiene como resultado 3.




En la función f y de su recíproca g, donde los respectivos dominios de definición son I = [^-6; 6] y j = [-6; 2]. Los gráficos que representan f y g son simétricos con relación a la primera diagonal, es decir la recta ⌂: y = x. En efecto, esta simetría envía un punto cualquiera M (x, y) sobre el punto M’ (y, x).
funcion inversa
M pertenece a la curva de f si sólo sí M’ pertenece a la de g, porque la primera condición se escribe y = f (x) y la segunda x= g (y) y son por definición equivalentes. Las tangentes M y M’ tienen pendientes inversas. Es un efecto de la simetría anterior, y es la ilustración geométrica de la relación g’ (y) . f’ (x) = 1.

Lo que se bebe  tener en cuenta sobre las funcion inversa

Partiendo de las aplicaciones 1. G o f = idi y y  2. F o g = id j. acontinuación se presentan las interpretaciones sobre dichas ecuaciones en las que se determinará la función de f y de g dentro del sistema.funcion inversa
En las definiciones alternativas sobre la función inversa, es clave destacar algunos conceptos básicos a tener en cuenta;  si se cumple 1) entonces f es inyectiva y g sobreyectiva, y se dirá entonces que g es inversa por la izquierda de f.
Al cumplirse 2 entonces g es inyectiva y f sobreyectiva, y se dirá que g es inversa por la derecha f. Si se cumplen simultáneamente 1) y 2 entonces f y g son biyectivas y g es la inversa de f. esta última precisamente se usa con frecuencia como definición de función inversa.
En la inversión del orden en la composición de dos
funciones viene dada por la fórmula (g o f) -1 = f-1 o g-1, cabe destacar que en esta se invierte el orden de g y el de f.
Es así como quedan determinadas las características básicas de una función inversa en la cual las variables de f y g se mueven para provocar el desarrollo de este sistema.


FUNCION ESCALONADA 


Las funciones escalonadas son un tipo particularmente sencillo de funciones que se definen en un intervalo de manera que exista una partición del mismo en el que la función se mantenga constante en cada uno de los subintervalos. Por ejemplo la función:
es escalonada. Se les llama así por la forma que tienen de escalera.

Informalmente, una función escalonada es aquella cuya gráfica tiene la forma de una escalera o una serie de escalones (que no necesariamente deben ser crecientes) al ser dibujada. El ejemplo más común de función escalonada es la función parte entera






En el intervalo cerrado [-1, 5] de números reales sobre los números reales, asociando a cada x de [-1,5] un valor de y, según el siguiente criterio:

   s (x) =
   \left \{
   \begin{array}{rcr}
      1 & \mbox{si} & -1 \le x < 1 \\
     -1 & \mbox{si} &  1 \le x < 2 \\
      3 & \mbox{si} &  2 \le x < 4 \\
      2 & \mbox{si} &  4 \le x \le 5
   \end{array}
   \right.
Esta función tiene cuatro intervalos escalonados, como se ve en la figura.
La composición de cualquier función escalonada s(x) y una función cualquiera f(x) da por resultado una función escalonadag(x) = f(s(x)), siempre que f(x) esté definida para cualquier valor de x en el rango de s(x).
Evidentemente, la derivada de una función escalonada es 0 en cualquier punto en que se halle definida. No puede definirse en los puntos en que hay discontinuidades.
FUNCION VALOR  ABSOLUTO

La función de valor absoluto tiene por ecuación f(x) = |x|, y siempre representa distancias; por lo tanto, siempre será positiva o nula
En esta condición, de ser siempre positiva o nula, su gráfica no se encontrará jamás debajo del eje x. Su gráfica va a estar siempre por encima de dicho eje o, a lo sumo, tocándolo.
Las funciones en valor absoluto siempre representan una distancia o intervalos (tramos o trozos) y se pueden resolver o calcular siguiendo los siguientes pasos:
1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces (los valores de x).
2. Se forman intervalos con las raíces (los valores de x) y se evalúa el signo de cada intervalo.
3. Definimos la función a intervalos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función.
4. Representamos la función resultante.
Veamos un ejemplo:
valor_absoluto010

x

valor_absoluto011

x

Otro



 El valor absoluto de un número coindice con el número si éste es positivo o cero o con su opuesto si el número es negativo.
La función valor absoluto es una función definida a trozos de la siguiente manera:
Su gráfica es:


Para representar una función en valor absoluto, representamos la función que está dentro del valor absoluto y los valores de la función negativos (por debajo del eje de abscisas) los trasladamos por simetría con respecto al eje de abscisas. 






Una función identidad es una función que devuelve su propio argumento, esto es f(x) =x.


- El dominio y el rango de la función identidad es el conjunto de los números reales.


- La función identidad se encuentra en los cuadrantes I y III.







Se llama función constante a la que no depende de ninguna variable, y la podemos representar como una función matemática de la forma: f(x)=cdonde c pertenece a los números reales y es una constante.


- El dominio de la función constante es el conjunto de los números reales y el rango es c.


- La gráfica de la función constante es una línea recta paralela al eje x, y corta al eje y en y = c.


- Se puede considerar a la función constante como un caso particular de la función lineal cuando se hace x = 0 .
















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