jueves, 2 de mayo de 2013

Funciones polinomiales de grado 3 y 4






Ecuación de tercer grado




I. El caso general


Una ecuación de tercer grado con una incógnita es una ecuación que se puede poner bajo la forma canónica:


ax³ + bx² + cx + d = 0,


donde a, b,c y d (a ≠ 0 ) son números que pertenecen a un cuerpo, usualmente a R o a . Sea K un cuerpoconmutativo, donde se pueden extraer raíces cuadradas y cúbicas. En este cuerpo, es posible factorizar por todo a ≠ 0, y la identidad siguiente es válida:


(a - b)3 = a3 - 3a2b +3ab2 - b3


Basta con encontrar una solución, digamos r, pues al factorizar ax3 + bx2 + cx + d por x - r, obtenemos unaecuación de segundo grado que sabemos resolver, lo que dará las demás raíces. En un cuerpoalgebráicamente cerrado, se sabe que todo polinomio de grado 3 tiene tres raíces. Es el caso del cuerpo de los complejos, según el Teorema Fundamental del Álgebra.


Los pasos de la resolución son:




Dividir la ecuación inicial por el coeficiente a (a ≠ 0 ). Se obtiene:




x3 + b'x2 + c'x + d' = 0 con b' = b/a, c' = c/a, d' = d/a.




Proceder al cambio de incógnita z = x + b'/3, para suprimir el término cuadrado. En efecto, al desarollar (z - b'/3)3 con la identidad precedente, vemos aparecer el término -b'z2, compensado exactamente por b'z2 que aparece en b'(z - b'/3)2. Se obtiene:




z3 + pz + q = 0, con p y q números del cuerpo.




y ahora, la astucia genial: escribir z = u + v.




La ecuación precedente da (u + v)3 + p(u+v) + q = 0.


Desarollando: u3 + 3u2v + 3uv2 + v3 + pu + pv + q = 0.


Reagrupando: (u3 + v3 + q) + (3uv2 + v3 + pu + pv) = 0.


Factorizando: (u3 + v3 + q) + (u + v)(3uv + p) = 0.


Comó se ha introducido una variable adicional (u y v en vez de z) , es posible imponerse una condicion adicional. Concretamente:


3uv + p = 0, que implica u3 + v3 + q = 0 .




Pongamos U = u3 y V = v3. Entonces tenemos U + V = - q y UV = - p3/27 porque UV = (uv)3 = (-p/3)3.




Por lo tanto U y V son las raíces de la ecuación auxiliar (E) X2 + qX - p3/27 = 0, que se sabe resolver.


Luego u y v son raíces cúbicas de U y V (que verifican uv = -p/3), z = u + v y finalmente x = z - b'/3. En el cuerpo C, si u0 y v0 son estas raíces cúbicas, entonces las otras son ju0 y j2u0, y por supuesto jv0 y j2v0, con j = e2iπ/3, una raíz cubica de la unidad.


Como el producto uv está fijado ( uv = -p/3) las parejas (u, v) posibles son ( u0, v0), ( ju0 , j2v0) y (j2u0, jv0).


Las otras raíces de la ecuación de tercer grado son por lo tanto ju0 + j2v0 - b'/3 y j2u0 + jv0 - b'/3.




II. El caso real


Las primeras ecuaciones de tercer grado que se intentó resolver fueron con coeficientes reales (de hecho: enteros). El cuerpo de los reales no es algebráicamente cerrado, por lo tanto, el número de raíces reales no es siempre 3. Las que faltan se encuentran en C, extensión agebráica cerrada de R. La distinción aparece cuando se sacan las raíces cuadradas en el cálculo de U y V. Las raíces cúbicas no plantean problemas.


Se demuestra que el número de raíces reales depende del discriminante (multiplicado por 27) de la ecuación auxiliar Δ = 4p3 + 27q2:




Si Δ > 0 existe una única raíz real. Las demás son complejas conjugadas.


Si Δ = 0 existe una raíz multiple real: una raíz triple o una doble y otra simple, todas reales.


Si Δ < 0 existen tres raíces reales.




Habrán notado que siempre hay por lo menos una solución real. Es debido a que las funciones polinomiales no constantes tienen límites infinitos en + ∞ y - ∞ y las de grado impar tienen límites de signos contrarios. Como son funciones contínuas, tienen que pasar por cero, por el teorema de los valores intermedios. En la figura siguiente se registra todos los casos, según los signos de a y de Δ.







III. Primer ejemplo

Sea 2t3 + 6t2 + 12t + 10 = 0 Sigamos los pasos descritos en el primer párrafo.



t3 + 3t2 + 6t + 5 = 0 (al dividir por 2)

con x = t + 1, es decir t = x - 1 reemplazando: (x - 1)3 + 3(x - 1)2 + 6(x - 1) + 5 = 0



desarollando: x3 + 3x + 1 = 0


x = u + v, U = u3, V = v3 y nos imponemos U + V = - 1 y UV = - 1.

U y V son las raíces de X2 + X - 1 = 0.

IV. Segundo ejemplo

Este ejemplo es histórico porque fue el que tomo Bombelli quien fue, con Cardano, el primero en resolver ecuaciones del tercer y cuarto grado por el método ya expuesto (en la Italia del renacimiento, en pleno siglo XVI).

La ecuación es x3 - 15x - 4 = 0.

Estudiando la función x → x3 - 15x - 4 o calculando el discriminante Δ = -13068 < 0, nos damos cuenta que esta ecuación tiene tres raíces ( vean el cuadro 3 de la figura). Por lo tanto debería ser más facil que en el primer ejemplo encontrar una.

Los dos primeros pasos son inútiles. Pasamos al tercero: x = u + v , U = u3, V = v3.

U + V = 4 y UV = 125

U y V son las raíces de X2 - 4X + 125 = 0, ecuación cuyo determinante ya hemos calculado y que es negativo. Por lo tanto no tiene raíces reales. Este método no permite encontrar las raíces, todas reales, pasando obligatoriamente por los complejos. ¡ Es paradójico !

Esta constatación fue un argumento a favor de los complejos: son herramientas imprescindibles para resolver ecuaciones, aunque sólo tengan soluciones reales.

Hallamos U = 2 - 11·i y V = 2 + 11·i. Extraer raíces cúbicas en los complejos no es lo mismo que en los reales. Hay dos métodos: uno geométrico, que utiliza el argumento y el módulo (se divide el argumento por tres, y se toma la raíz cúbica del módulo), y otro algebraico, que emplea las partes real e imaginaria: Pongamos u = a + bi.

u3 = 2 - 11i equivale al sistema:

a3 - 3ab2 = 2 (parte real)

3a2b - b3 = - 11 (parte imaginaria)

a2 + b2 = 5 (módulo)

Obtenemos a = 2 y b = -1, o sea u = 2 - i, y v es su conjugado: v = 2 + i.

En conclusión, x = u + v = (2 - i) + (2 + i) = 4, lo que se verifica de inmediato.

Las otras raíces son x' = j(2 - i) + j2(2 + i) = - 2 + √3 y x" = j2(2 - i) + j(2 + i) = - 2 - √3.

Cuando Δ es negativo, U y V son conjugados, y por lo tanto también lo son u y v (con tal de bien escoger la raíz cúbica, recordando que uv = -p/3); así estamos seguros de obtener un x real, y de hecho también x' y x".





























Funciones de grado 4

Para advertir la influencia de los parámetros en la gráfica de las funciones polinomiales de grado cuatro, es necesario, al igual como lo hiciste con las funciones polinomiales de grado 3, hacer pruebas modificando los parámetros de algunas funciones.


Observa las siguientes gráficas.
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La gráfica de las funciones de grado cuatro se eleva sobre la izquierda y la derecha, es decir, crecen en ambos lados, a excepción de aquella cuyo coeficiente principal es negativo, decrece en ambos lados.
Con las gráficas de las funciones polinomiales de grado dos ocurre algo semejante, ¿lo recuerdas? Observa la función cuadrática y la de grado 4 en el mismo plano, además advierte el comportamiento de las funciones lineal y cúbica.
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f(x)= x2 f(x)= x f(x) = x4 f(x) = x3
Ya lograste identificar que las funciones pares (2 y 4) tanto del lado izquierdo como derecho son ambas crecientes, y que las funciones impares (1 y 3) son crecientes del lado derecho y decrecientes del lado izquierdo. Esto ocurre cuando los coeficientes principales son positivos. 

miércoles, 1 de mayo de 2013

FUNCIONES POLINOMIALES DE CERO, UNO Y DOS


La función polinomial se llama así porque generalmente su expresión algebraica es un polino-
mio; su forma general es:
f(x) = anxn + an–1xn–1 + an–2xn–2 + ... +a0x0
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Como recordarás de tus cursos de álgebra, una expresión algebraica se puede clasificar por dos características importantes:
a) Elnúmerodetérminosquelacomponen. b) El grado de expresión.
Para entender lo anterior, veamos el siguiente ejemplo: 5x3
5 = coeficiente
x = base, también llamado variable en las funciones
3 = exponente
Un término estará compuesto de: coeficiente, base(s) o variable(s) y exponente, o simplemente de una constante. En una expresión algebraica, cada término estará separado por signos posi- tivos o negativos.
El grado de una función estará dado por el mayor de los exponentes.
f(x)=x4 +5x3 8x2 +2x16 6
Podemos decir que se trata de una función con cinco términos y además es de cuarto grado, porque el mayor de los exponentes es cuatro.
Ahora analicemos cada término:
x4 = 5x3 = –8x2 =
25x = –16 =
el coeficiente es 1 (aunque no se escriba); la base o variable, es x y el exponente es 4. el coeficiente es 5; la base o variable es x y el exponente es el 3.
el coeficiente es -8; la base o variable es
x y el exponente es 2.
el coeficiente es 52; la base o variable es x y el exponente es 1 (aunque no se escriba).
el término es una constante ya que el exponente vale cero y toda cantidad elevada a

cero es uno; por eso, al multiplicarse por -16 se obtiene -16.
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El dominio de una función polinomial es el conjunto de los números reales, es decir, está defi- nida para todo número real. Esto ocurre cuando la expresión polinomial es un polinomio entero en x, por lo tanto es necesario saber que un polinomio entero en x es aquel cuya expresión
algebraica NO contiene x en el denominador, ni exponentes negativos.
La expresión algebraica de la siguiente función corresponde a un polinomio entero en
x:
f(x)=5x4 2x3 +8x2 3x+1 72
Por lo que:
Dominio = {
x R/ –∞ < x < ∞}
La siguiente función no es polinomio entero en x:
f(x)=3x2 5x+24 x
debido a que la x aparece en el cuarto término en el denominador. Realizando una simple ope- ración matemática, podemos observar que la función en realidad es racional:
f (x ) = 3x 2 5x + 2 4 = 3x 3 5x 2 + 2x 4 xx 


El coeficiente principal de una función polinomial es aquel que está multiplicando por la variable con mayor exponente; dependiendo del valor que tome y la función de que se trate, va a provo- car cambios específicos en la gráfica de la función. Por ejemplo: si es una función lineal y su co- eficiente principal es positivo, entre más grande sea su valor la recta será más inclinada, es decir, será una recta creciente (un ángulo de inclinación entre 0 y 90°); pero si el coeficiente principal es negativo, entonces
la recta será decre- ciente (un ángulo de inclinación entre 90° y 180°) y su inclinación variará con el valor del mismo.

La función afín: FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO 1 que tiene en su variable equis el exponente uno.
La forma de esta función de grado uno es la ecuación de la línea recta, que tiene su gráfica como aparece  de forma oblicua.
y = m x + b
La función cuadrática:
FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO 2
Se denomina función cuadrática a toda función de la forma:
Y = ax2+ bx+ c que representa a una expresión cuadrática, donde a (distinto de 0), b y c son números reales.
Su gráfica es una parábola.
La función cúbica:
FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO 3
Se denomina función cúbica a toda función de la forma:
y= ax+ bx+ cx+ d; donde a (distinto de 0), b, c y d son números reales.
FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO 4
Es la función de fórmula: y = ax4+ bx3+ cx2+ dx+ e; donde a (distinto de 0), b, c, d y e son números reales.
Una representación especial de las funciones polinomiales es la función que no tiene un exponente como los anteriores

Funciones: Función inversa, función escalonada, función valor absoluto, función identidad, función contante

 FUNCION INVERSA


Si una función f consiste en elevar al cuadrado y otra función g consiste en extraer la raíz cuadrada, cada una neutraliza lo que hace la otra. Las funciones f y g son una función inversa de la otra.
La función inversa, llamada también  recíproca, está representada como una función f y su inversa f-1. Como f aplica a en tres, la inversa f-1 lleva tres de vuelta en a.

Cómo realizar le gráfico de una funcion inversa

Una gráfica es inversa de otra cuando ambas son simétricas respecto de la bisectriz del 1.er y 3.ercuadrantes. La ecuación de la bisectriz del primer y tercer cuadrantes es y = x. La ecuación de la bisectriz del segundo y cuarto cuadrantes es y = -x.
En f(x) = xno tiene en cuenta qué podría elegir de otra forma. Para que sea inyectiva se puede optar entre los conjuntos o , como nuevo dominio. No se puede  confundir entre resolver una ecuación x2 = 9, que tiene dos soluciones , con hallar , que tiene como resultado 3.




En la función f y de su recíproca g, donde los respectivos dominios de definición son I = [^-6; 6] y j = [-6; 2]. Los gráficos que representan f y g son simétricos con relación a la primera diagonal, es decir la recta ⌂: y = x. En efecto, esta simetría envía un punto cualquiera M (x, y) sobre el punto M’ (y, x).
funcion inversa
M pertenece a la curva de f si sólo sí M’ pertenece a la de g, porque la primera condición se escribe y = f (x) y la segunda x= g (y) y son por definición equivalentes. Las tangentes M y M’ tienen pendientes inversas. Es un efecto de la simetría anterior, y es la ilustración geométrica de la relación g’ (y) . f’ (x) = 1.

Lo que se bebe  tener en cuenta sobre las funcion inversa

Partiendo de las aplicaciones 1. G o f = idi y y  2. F o g = id j. acontinuación se presentan las interpretaciones sobre dichas ecuaciones en las que se determinará la función de f y de g dentro del sistema.funcion inversa
En las definiciones alternativas sobre la función inversa, es clave destacar algunos conceptos básicos a tener en cuenta;  si se cumple 1) entonces f es inyectiva y g sobreyectiva, y se dirá entonces que g es inversa por la izquierda de f.
Al cumplirse 2 entonces g es inyectiva y f sobreyectiva, y se dirá que g es inversa por la derecha f. Si se cumplen simultáneamente 1) y 2 entonces f y g son biyectivas y g es la inversa de f. esta última precisamente se usa con frecuencia como definición de función inversa.
En la inversión del orden en la composición de dos
funciones viene dada por la fórmula (g o f) -1 = f-1 o g-1, cabe destacar que en esta se invierte el orden de g y el de f.
Es así como quedan determinadas las características básicas de una función inversa en la cual las variables de f y g se mueven para provocar el desarrollo de este sistema.


FUNCION ESCALONADA 


Las funciones escalonadas son un tipo particularmente sencillo de funciones que se definen en un intervalo de manera que exista una partición del mismo en el que la función se mantenga constante en cada uno de los subintervalos. Por ejemplo la función:
es escalonada. Se les llama así por la forma que tienen de escalera.

Informalmente, una función escalonada es aquella cuya gráfica tiene la forma de una escalera o una serie de escalones (que no necesariamente deben ser crecientes) al ser dibujada. El ejemplo más común de función escalonada es la función parte entera






En el intervalo cerrado [-1, 5] de números reales sobre los números reales, asociando a cada x de [-1,5] un valor de y, según el siguiente criterio:

   s (x) =
   \left \{
   \begin{array}{rcr}
      1 & \mbox{si} & -1 \le x < 1 \\
     -1 & \mbox{si} &  1 \le x < 2 \\
      3 & \mbox{si} &  2 \le x < 4 \\
      2 & \mbox{si} &  4 \le x \le 5
   \end{array}
   \right.
Esta función tiene cuatro intervalos escalonados, como se ve en la figura.
La composición de cualquier función escalonada s(x) y una función cualquiera f(x) da por resultado una función escalonadag(x) = f(s(x)), siempre que f(x) esté definida para cualquier valor de x en el rango de s(x).
Evidentemente, la derivada de una función escalonada es 0 en cualquier punto en que se halle definida. No puede definirse en los puntos en que hay discontinuidades.
FUNCION VALOR  ABSOLUTO

La función de valor absoluto tiene por ecuación f(x) = |x|, y siempre representa distancias; por lo tanto, siempre será positiva o nula
En esta condición, de ser siempre positiva o nula, su gráfica no se encontrará jamás debajo del eje x. Su gráfica va a estar siempre por encima de dicho eje o, a lo sumo, tocándolo.
Las funciones en valor absoluto siempre representan una distancia o intervalos (tramos o trozos) y se pueden resolver o calcular siguiendo los siguientes pasos:
1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces (los valores de x).
2. Se forman intervalos con las raíces (los valores de x) y se evalúa el signo de cada intervalo.
3. Definimos la función a intervalos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función.
4. Representamos la función resultante.
Veamos un ejemplo:
valor_absoluto010

x

valor_absoluto011

x

Otro



 El valor absoluto de un número coindice con el número si éste es positivo o cero o con su opuesto si el número es negativo.
La función valor absoluto es una función definida a trozos de la siguiente manera:
Su gráfica es:


Para representar una función en valor absoluto, representamos la función que está dentro del valor absoluto y los valores de la función negativos (por debajo del eje de abscisas) los trasladamos por simetría con respecto al eje de abscisas. 






Una función identidad es una función que devuelve su propio argumento, esto es f(x) =x.


- El dominio y el rango de la función identidad es el conjunto de los números reales.


- La función identidad se encuentra en los cuadrantes I y III.







Se llama función constante a la que no depende de ninguna variable, y la podemos representar como una función matemática de la forma: f(x)=cdonde c pertenece a los números reales y es una constante.


- El dominio de la función constante es el conjunto de los números reales y el rango es c.


- La gráfica de la función constante es una línea recta paralela al eje x, y corta al eje y en y = c.


- Se puede considerar a la función constante como un caso particular de la función lineal cuando se hace x = 0 .
















Dominio, contradominio y reglas de correspondencia.


  En la función que tiene por expresión algebraica y = 2x +1 podemos dar a la variable x el valor que queramos y con ello obtener un correspondiente valor de y. Decimos que en este caso dicha función está definida en todo R (conjunto de los números reales) o bien que sudominio de definición es R.

  Sin embargo la función y = 1/x no permite calcular el correspondiente valor de y para todos los valores de x. En este caso el valor x=0 no puede ser del dominio de la función.
  Si la función es la que a cada alumno/a de 4ºA le asocia la nota del examen que hizo el día 14 de Diciembre, el dominio de dicha función sería el conjunto de alumnos/as de 4ºA que hicieron ese citado examen.

 Se llama dominio de definición de una función f, y se designa por Dom f, al conjunto de valores de x para los cuales existe la función, es decir, para los cuales podemos calcular y = f(x).

1.Obtención del dominio de definición a partir de la gráfica.


dominio gráficamente
  Cuando una función se nos presenta a través de su gráfica, simplemente con proyectar sobre el eje de abscisas dicha gráfica conseguimos el dominio de definición. Ésto es porque cualquier valor de x del dominio tiene su correspondiente imagen y por ello le corresponde un punto de la gráfica; y éste punto es el que al proyectar la misma sobre el eje Ox nos incluye ese valor dentro del dominio.
  En el ejemplo vemos coloreado de azul el dominio (está dibujado un poco más abajo del eje para que sea bien visible la escala del eje de abscisas).
 En este caso tenemos que Dom f = (-infinito, 2) U (2, 7]
 De una manera vulgar, podríamos decir que si aplastámos la gráfica sobre el eje Ox y ésta estuviese manchada de tinta, quedaría manchado sobre el eje justo el dominio de definición de la función f.







• Contradominio de una función: Son el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente “y”. También es conocido como codominio, recorrido o rango.
Ejemplo: 
Dada la función f = (4, 12),(6, -7),(-1, 4),(2, 3),(-3, 6):
• Dominio: Df = 4, 6,-1, 2,- 3 (son los primeros elementos de los pares ordenados).
• Contradominio: Cf = 12, -7, 4, 3, 6 (son los segundos elementos de los pares ordenados).


REGLAS DE CORRESPONDENCIA 


En términos de la Teoría de conjuntista dicha regla de correspondencia es vista como un vínculo entre dos conjunto abstractos. Definiendose 2 tipos de reglas de correspondencia:
1.- Correspondencia unívoca.
2.- Correspondencia biunívoca.

Donde denominamos como Correspondencia unívoca a aquella correspondencia matemática en donde a cada elemento de un conjunto primero llamado (Dominio) le corresponde solo un elemento de un segundo conjunto llamado (Codominio o Rango).
Ejemplo:
Por otro lado denominamos como Correspondencia biunívoca aquella correspondencia matemática que en su inversa también es unívoca… Es decir si tomamos el (Rango) como (Dominio) a cada elemento del conjunto primero (Rango) le corresponde solo un elemento de un segundo conjunto llamado (Dominio). Como es posible apreciar en la siguiente imagen, en aquellas relaciones marcadas con una flecha de color azúl, en lo que se refiere a la función inversa:
Cabe destacar que el concepto de una Correspondencia biunívoca esta muy conectado en lo que se refiere a una función inversa, ya que describe como las relaciones se van dando a medida que se asigna un elemento como dominio. La ejemplificación algebraica de dichas correspondencias es posible encontrar en el núcleo de una función matemática tanto en un sentido normal como en su sentido inverso.




















Relación y Función


Entender los conceptos de Relación y de Función es de suma importancia en Matemática.
Para lograr esa comprensión es necesario adentrarnos en la noción de Correspondencia, ya que esta tiene un papel fundamental en las relaciones y funciones.
Lo primero es entender que Correspondencia es equivalente a Relación. En nuestra lengua, decir “en relación a”, es equivalente a decir “corresponde a”.
Ejemplos:
En una tienda comercial, cada artículo está relacionado con su precio; o sea, a cada artículo le corresponde un precio.
En la guía telefónica, cada cliente está relacionado con un número; o sea, a cada nombre de la guía le corresponde un número.   

Definición matemática de Relación y de Función

En matemática, Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamadoRecorrido o Rango, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos del Recorrido o Rango.
Por su parte, una Función es una relación a la cual se añade la condición de que a cada valor del Dominio le corresponde uneo y sólo un valor del Recorrido.

De las definiciones anteriores podemos deducir que todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones.
También debemos agregar que toda ecuación es una Relación, pero no toda ecuación es una Función.
Ejemplo 1.
Si A = {2, 3}  y B = {1, 4, 5}, encontrar tres relaciones definidas de A en B.
Solución
El producto cartesiano de A x B está conformado por las siguientes parejas o pares ordenados:
                                        A x B = {(2, 1), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 4), (3, 5)}
Y cada uno de los siguientes conjuntos corresponde a relaciones definidas de A en B:
                                        R1 =  {(2, 1), (3, 1)}
                                        R2 =  {(2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}
                                        R3 =  {(2, 4), (3, 5)}
La relación R1 se puede definir como el conjunto de pares cuyo segundo elemento es 1, esto es, R1 =  {(xy) / y = 1}.
La relación R2 está formada por los pares cuyo primer componente es menor que el segundo componente, R2 = {(x, y) / < y}
Y la relación R3 está conformada por todos los pares que cumplen con que el segundo componente es dos unidades mayor que el primer componente, dicho de otro modo, R3 =  {(x,  y) / y = x + 2}
Así, se puede continuar enumerando relaciones definidas a partir de A x B. Como se puede ver, la regla que define la relación se puede escribir mediante ecuaciones o desigualdades que relacionan los valores de x e y. Estas reglas son un medio conveniente para ordenar en pares los elementos de los dos conjuntos.